torstai 24. kesäkuuta 2010

Matematiikka ja todellisuus

Joskus (jopa tieteentekijöiden seurassa) törmää ajatukseen matematiikan "puhtaudesta" ja siitä, että se edustaa jonkinlaista universaalia totuutta. Ajatus on kuitenkin aikansa elänyt, ja sen kannattajat ovat kokeneet kovia viimeisten sadan vuoden aikana.

Pohjimmiltaan matematiikka on kokeiluun ja käytännön havaintoihin perustuva tiede siinä missä muutkin, vaikka sen rakenne onkin selvempi, johtuen tutkittavien havaintojen (aksioomien ja logiikan) yksinkertaisuudesta. Voidaan myös sanoa, että matematiikka tutkii ihmisen ajattelu- ja havainnointiperiaatteita samalla, kun se tutkii ulkoisen maailman lainalaisuuksia. Usein näiden kahden tutkimuskohteen erottelu ei ole mielekästä.

Matematiikan idealistinen hohto himmeni viime vuosisadalla, kun sille pyrittiin luomaan yhtenäinen aksiomaattinen pohja. Lyhyesti sanottuna matematiikan "puhtautta" rajoittavat ihmisen ajattelun ja kielen ominaisuudet, jotka eivät tunnu olevan helposti systematisoitavissa. Toisin sanoen, ihmiselle tuttujen ja intuitiivisesti selkeiden käsitteiden avulla on vaikea määritellä yhtenäistä "päättelyjärjestelmää", jonka puitteissa sen sisältämien väittämien totuusarvoa voitaisiin ongelmattomasti tarkastella.

Arkikielen tasolla on helppo huomata, ettei väittämiä voida jakaa tosiin ja epätosiin. Tähän liittyy monia tunnettuja paradokseja, joista tunnetuin lienee valehtelijan paradoksi:
Minä valehtelen juuri nyt
tai
Tämä lause ei pidä paikkaansa.


Paradoksit sisältävät yleensä jonkinlaisen viittauksen lauseeseen itseensä. Hieman mutkikkaammassa Quinen paradoksissa tämä viittaus ei ole yhtä selkeä, tai ainakin se on erilainen kuin edellä. Quinen paradoksi kuuluu vapaasti suomennettuna näin:
"Tekee lauseesta epätoden, kun sitä edeltää itsensä lainaus" tekee lauseesta epätoden, kun sitä edeltää itsensä lainaus.


Berryn paradoksi liittyy lukujen nimeämiseen sanojen avulla. Voidaan esimerkiksi pyrkiä nimeämään jokin (positiivinen kokonais)luku seuraavasti:
Pienin luku, jota ei voida nimetä alle kymmenellä sanalla.
Kielessä on äärellinen määrä sanoja, joten alle kymmenellä sanalla voidaan nimetä vain äärellinen määrä lukuja. Joitain lukuja jää siis nimeämättä, ja jonkun niistä on oltava pienin. Kyseinen luku on juuri se, jonka yllä oleva lause nimeää, mutta lauseessa on vain yhdeksän sanaa.

Kielen ongelmat siirtyvät logiikan ja aksioomien mukana myös matematiikkaan, ja esimerkiksi yllä mainitut paradoksit ovat koetelleet matematiikan aksiomatisointiyrityksiä.

Ensimmäiset yritykset joukko-opin määrittelemiseksi kaatuivat Russellin paradoksiin. Nykyisetkään joukko-opin aksioomat (ZFC) eivät ole valaistuksen hetkellä saatuja suuria totuuksia, vaan yrityksen ja erehdyksen kautta kyhätty kokoelma, jonka sisältämät ongelmat ovat siedettävällä tasolla. Ainakin toistaiseksi. Esimerkiksi kontinuumihypoteesia ei voida todistaa eikä kumota nykyisten aksioomien pohjalta.

Myöhemmin Gödel käytti valehtelijan paradoksia osoittaakseen kuuluisan epätäydellisyyslauseensa, jonka mukaan todistuksen formalisointiyritykset johtavat (käytännössä) aina systeemiin, jossa on tosia lauseita, joita ei voida todistaa systeemin sisältä. Tulos harmitti useaa idealistia.

Ongelmiin joudutaan myös, kun joukoille pyritään määrittelemään mitta, joka vastaa geometrista intuitiota pituudesta, pinta-alasta ja tilavuudesta. On nimittäin vaikea määritellä mittaa, jolla voitaisiin fiksusti mitata kaikkia joukkoja. Hyvän mitan määrittely on tärkeää esimerkiksi integraalia määritellessä.

Matematiikka tutkii siis tavallaan ihmisen ajattelua ja kieltä, sillä logiikka ja aksioomat perustuvat niille. Voidaan myös ajatella, että matematiikka tutkii tapaa, jolla ihminen havainnoi ja jäsentää ympäristöään. Esimerkiksi ryhmän määritelmä, ja sitä kautta ryhmäteoria, joka on tärkeä matematiikan osa-alue, on syntynyt esineiden symmetrioita tutkimalla. Myös koko joukko-oppi, eli se, että ihmiselle ylipäätään tulee mieleen ajatus "joukosta", sen sisältämistä "alkioista" ja näiden välisistä lainalaisuuksista, perustuu arkihavaintoihin esineistä ja niiden kokoelmista.

Lopuksi pari kiinnostavaa esimerkkiä siitä, mitä tämän perustan päällä lepää. Esimerkit koskevat aaltoyhtälöä, mikä on kiinnostava tutkimuskohde, sillä fyysikkojen mukaan pohjimmiltaan kaikki on aaltoja.

Kun tutkitaan eri ulotteisissa avaruuksissa millaisen aallon synnyttää pistemäinen hetkellinen häiriö (eli ratkaistaan aaltoyhtälö asettamalla alkuehdoksi pistemäinen yksikköimpulssi), voidaan ratkaisuista huomata, että Huygensin periaate on voimassa vain avaruudessa, jossa on pariton määrä ulottuvuuksia. Lisäksi huomataan, että kolme on pienin ulottuvuuksien määrä, jossa tämä ratkaisu koostuu yhdestä terävästä aaltorintamasta. Tämä ominaisuus on oleellinen informaation leviämisen kannalta. Mikäli pistemäinen hetkellinen häiriö aiheuttaa ympärilleen vähemmän selkeän aaltorintaman, kuten esimerkiksi kaksiulotteisessa tapauksessa (vaikkapa järven pinnalla), sekoittuvat eri lähteistä peräisin olevat aallot, ja aaltojen välittä informaatio on yhtä mössöä.

Eräs vielä kiinnostavampi havainto liittyy vaimenevien palloaaltojen olemassaoloon. Monet havaitut aaltoilmiöt näyttäisivät vaimenevan etäisyyden kasvaessa, riippuen tietysti väliaineesta. Aaltoyhtälöä tutkimalla voidaan huomata, että tällaisia ratkaisuja (vaimenevia häiriöttömiä palloaaltoja) voi olla vain kolmiulotteisessa avaruudessa. Välillä yhdestä äärettömään on siis kolme ainoa ulottuvuuksien määrä, jossa tällaisia ratkaisuja on olemassa. Tulos rohkaisee visioimaan, ettei maailma todellisuudessa ole kolmiulotteinen. Sitä ei vain voi havaita minkään muun ulotteisena.

Tässäkin voi tietysti olla kyseessä kehäpäätelmä, sillä matematiikka rakentuu oletuksille, jotka syntyvät aivoissamme, jotka puolestaan syntyvät kolmiulotteisen havaintomaailman ehdollistamina. Saattaa siis olla, että havaintojemme kolmiulotteisuus "todistaa" salakavalasti itse oman välttämättömyytensä.

28 kommenttia:

Jaska Brown kirjoitti...

Näinhän se menee, hieno teksti. Se että matematiikka sattuu kuvaamaan todellisuutta hyvin ei johdu siitä, että matematiikka olisi automaattisesti totta, vaan siitä että valitut aksioomat kuvaavat hyvin todellisuutta. Gödel nitisti matemaattisen positivismin osoittamalla, että mikään järjestelmä ei pysty todistamaan omaa ristiriitaisuuttaan. Hän käytti tietysti Russellin - Whiteheadin logiikkaa, mutta osoitti tylysti että sama pätee mihin tahansa formaaliin järjestelmään. Ainoa aksioomille esitettävä vaatimus on se, että ne eivät saa olla keskenään ristiriitaisia.

Jos et muuten ole vielä lukenut, niin suosittelen: Apostolos Doxiadis : Petros-setä ja Goldbachin hypoteesi.

Ja lainaus hieman yllättävästä teoksesta:

Gödelin teoreema on sitten rajoittanut samalla tavoin matematiikkaa, tieteen muodollista kieltä. Matemaatikot ajattelivat ennen että heidän kielensä oli jotenkin erityisen myötäsyntyisesti totta, mikä johtui logiikan laeista. Tiedämme nyt että se mitä me kutsumme järjeksi on vain mielivaltaista leikkiä. Se ei ole erityistä sillä tavoin kuin sen ajateltiin olevan. (Michael Crichton : Dinosauruspuisto)

Utumies kirjoitti...

Mielenkiintoinen juttu, mutta en osaa sanoa yhtään mitään tähän. Yleistiedon rajat tulivat haipakkaa vastaan.

Hyvä tietää. Yksi lisä relativistiargumentaation työkalupakkiin.

Juho kirjoitti...

Kiitos Jaskalle suosituksesta! Pistetään korvan taakse. Kesän mittaan saattaa lukupinoon mahtua taas uusia kirjoja.

Lainauksesi lähde on kieltämättä yllättävä. Crichtonilla oli siis jotain asiaakin. Kyseinen kohta ei kuitenkaan tainnut päätyä elokuvaan, sillä tuollaiset pohdinnat eivät lisää popcornin myyntiä.

Juho kirjoitti...

Ja kun nyt päästiin paradoksien makuun, niin tässä vielä yksi:

Jos tämä lause on tosi, niin Jumala on olemassa.

Riippumatta siitä, pitääkö tuota lausetta totena, tai pitääkö väitettä Jumalan olemassaolosta totena, on kuitenkin järkeenkäypää ajatella, että JOS tuo lause olisi tosi, NIIN silloin Jumala on olemassa. Mutta tämä on juuri mitä lause väittää, joten se on kaiken järjen mukaan tosi. Jumala on siis olemassa.

Näin voidaan todistaa tietysti mikä tahansa muukin asia. Tämä on nimeltään Curryn paradoksi, ja se aiheuttaa edelleen päänvaivaa paremmissakin piireissä.

Gc kirjoitti...

JB "Gödel nitisti matemaattisen positivismin osoittamalla, että mikään järjestelmä ei pysty todistamaan omaa ristiriitaisuuttaan."

Ei. Jokainen ristiriitainen järjestelmä todistaa oman ristiriitaisuutensa, jos vain tuo asia voidaan järjestelmässä formalisoida. Gödel nitisti formalismin osoittamalla, että todistaakseen lukuteorian väittämiä joudutaan ennen pitkää ottamaan käyttöön yhä vahvempia infinitaarisia metodeja. Hilbertin formalismi oli suunnilleen sitä, että lukuteoreettiset totuudet ovat aitoja matemaattiisia totuuksia, mutta infinitaarinen matematiikka on pelkkää merkkipeliä.

"Ainoa aksioomille esitettävä vaatimus on se, että ne eivät saa olla keskenään ristiriitaisia."

Ei ole. Esimerkiksi Peanon aksiomat + lause joka sanoo että Peanon aksiomat ovat ristiriitaisia ei ole mielekäs teoria, vaikka se on ristiriidaton, jos Peanon aksiomat ovat, gödelin toisen epätäydellisyyslauseen mukaan.

Jaska Brown kirjoitti...
Kirjoittaja on poistanut tämän kommentin.
Jaska Brown kirjoitti...

Korjataas painovirhe kommentista, siksi edellinen roskiin...

Hups. Piti kirjoittaa "ristiriidattomuuttaan", mutta lipsahti vastakkaiseksi. Kiitos korjauksesta, Gc.

Mitä tulee jälkimmäiseen huomautukseesi, niin näin tietysti on myöskin, mutta aksioomajärjestelmä, joka väittää itse olevansa ristiriitainen lienee lähinnä kuriositeetti.

Tuomo "Squirrel" Hämäläinen kirjoitti...

Tämä on pakko linkittää, koska se tiivistää Gödelin keksinnön ehdot ja seuraukset melkoisen tiiviisti: "Gödel's theorem in five words." : "Self-referential. Consistent. Complete. Pick two."

Itse lisäisin "(or less.)" Ilmeisesti mahdollisimman monen kohdan saanti, ahneuden logiikka, on oletettu lyhennelmässä automaattisesti. Se on silti kaunis.

Juho kirjoitti...

Kiitos Tuomolle ytimekkäästä lyhennelmästä.

Mutta eikös formalismissa, joka sisältää kokonaisluvut, voida aina muodostaa itseensä viittaava propositio Gödelin numeroinnin avulla? Ja kokonaislukujen mukanaolohan on poikkeuksetta lähtöoletuksena.

Nähdäkseni lause siis sievenee muotoon "Konsistentti tai täydellinen, muttei molempia."

Lokki kirjoitti...

Ajatuksia herättävä kirjoitus.

Jaska: "Se että matematiikka sattuu kuvaamaan todellisuutta hyvin ei johdu siitä, että matematiikka olisi automaattisesti totta, vaan siitä että valitut aksioomat kuvaavat hyvin todellisuutta."

Tekisin tuohon tarkennuksen: On oletettavaa, että matematiikka (ihmiselle luontaisen hahmottamistavan selkeänä ja koherenttina muotona) kuvaa hyvin *newtonilaisen tason* maailmaa. "Hyvin" verrattuna muihin evoluutiossa esiin nousseisiin hahmottamistapoihin, jotka eivät ole olleet tarpeeksi ennustusvoimaisia ja näin lisänneet kelpoisuutta.

Koska eläimen kognitio ei suuntaudu kvanttien ja suhteellisuusteorian tasolle, voidaan tällä evoluutiohypoteesilla olettaa eläinten hahmotustavan (kristallisoituna matematiikan) sujuvuus vain meille tutussa mittakaavassa. Tosiaan, kun yhden omenan viereen laittaa uuden omenan, on tuloksena kaksi omenaa. En ole kvanttien asiantuntija, mutta ymmärtääkseni asiat eivät siinä mittakaavassa ole niin yksinkertaisia.

Puhdasta spekulointia, mutta kenties kvantti-ilmiöitä ei tulisikaan kuvata matematiikan avulla. Kenties kvanttiympäristössä luoviville interdimensionaalisille mikroörkeille mielekkäin olisi sellainen järjestelmä, joka meidän järjestelmästämme käsin voitaisiin todistaa ristiriitaiseksi eli "yksiselitteisen" vääräksi. Siihen voisi sisältyä esimerkiksi aksiooma "1 = 2."

Tiedemies kirjoitti...

Kirjoitus on hyvä, mutta itse aihe on liiaksi mystifioitu. Tämä aihe herättää ihmisissä aina jotain pelonsekaista. Kirjoitan siitä omaan blogiini kokonaisen merkinnän. Gödelin epätäydellisyyslauseen tiivistys oli kieltämättä loistava.

Juho kirjoitti...

Kiitos Lokille kommentista. Yhdyn spekulaatioosi intuitiomme mittakaavariippuvuudesta, eli "kenties kvantti-ilmiöitä ei tulisikaan kuvata matematiikan avulla". On kuitenkin hyvin vaikea kuvitella sille korvaajaa. Kuinka ihminen voisi paremmin esittää ilmiöitä, jotka ovat täysin hänen oman kasvuympäristönsä ulkopuolella. Ja vaikka joku ihmelapsi niistä saisikin jotenkin paremman otteen, niin kuinka hän muotoilisi asian niille, joiden ajattelu on "perinteistä"?

Gc kirjoitti...

"Mutta eikös formalismissa, joka sisältää kokonaisluvut, voida aina muodostaa itseensä viittaava propositio Gödelin numeroinnin avulla?"

Riippuu siitä, mitä operaatioita on mukana. Jos on vain summaoperaatio on mukana muttei kertomisoperaatiota, ei voida.

"Ja kokonaislukujen mukanaolohan on poikkeuksetta lähtöoletuksena."

Ei ole. Luonnolliset luvut täytyy olla mukana.

Juho kirjoitti...

Luonnollisia lukuja tietysti tarkoitin, kiitos korjauksesta. :)

Catilina kirjoitti...

Selittäkääpä ninulle lyhyesti:

Kun yhteenlaskun identiteettielementti on 0 , ja kertolasku kuitenkin on peräkkäistä yhteenlaskua, niin miten sen identiteettielementti yht'äkkiä onkin 1 ?

Juho kirjoitti...

Catilina:
Vaikka kertolasku voitaisiinkin esittää yhteenlaskun avulla, on kuitenkin kyseessä eri operaatio, joka ei peri kaikkia yhteenlaskun ominaisuuksia. Eron voi huomata, kun miettii mikä rooli kertolaskussa

A*B=B+B+...+B

on luvuilla A ja B, verrattuna yhteenlaskuun A+B.

makislav kirjoitti...

Mielestäni empirististä matematiikkakäsitystä vastaan puhuu se, ettemme saa perustettua empiriaan matemaattista totuutta. Emme esimerkiksi voisi voisi laskea "viisi tippaa" + "viisi tippaa" ovat "kymmenen tippaa", sillä niistä tulisi yksi lammikko. Toinen esimerkki: Jos yhdistetään kolme eri fysikaalista kolmiota, emme saisi kolmea kolmioita, vaan neljä samanmoista (joista keskimmäinen olisi siis kärjellään). Vaikka varmasti opimme logiikkaa omaksumalla kokemuksesta, eivät niiden propositiot (siis väitelauseet, joiden oletetaan olevan tosia/epätosia) ole kokemuksellisia.

Humen haaruukkaa seuraten, mielestäni matematiikan ja logiikan totuudet voidaan erottaa maailmaa koskevista propositioista, sillä esimerkiksi Pythagoraan lause ei väitä mitään mistään ei-abstraktista entiteetistä (kuten osoitettavasta lampusta pöydän päällä). Se on tosi a priori siinä mielessä, että jos kieltäisimme sen totuuden, ajautuisimme sisäiseen ristiriitaan. Implikoisimme kontradiktion, joka ei voisi olla tosi.

Nähdäkseni sitten fysiikkaan sovellettuna on kontingentti empiirinen ja käytännöllinen kysymys, mitä matematiikkaa ja geometriaa kannattaa käyttää. Puhtaan geometrian muodot eivät kuitenkaan vastaa fysikaalista avaruutta. Tasogeometriset todistukset ovat tosia tietystä sovitusta aksioomasta käsin, mutta fysikaalisen kolmion kulmat kaartuisivat joksikin muuksi kuin 180 asteeksi suuren painovoimakeskittymän läheisyydessä. On siis eri asia puhua sovituista alkuehdoista suoritettavasta todistuksesta, kuin puhua fysikaalisen avaruuden muodosta. Jos lainataan Wittgensteinin Tractatusta: "Voimme kyllä esittää avaruudellisesti fysiikan lakien vastaisen
yksityisen asiaintilan, mutta emme mitään asiaintilaa, joka rikkoisi geometrian lakeja"( 3.0321). Wikipediassa tästä kuvaus.


Käsittääkseni matemaattis-loogiset todistukset ovat synonymiteetille sekä sisäisen ristiriitaisuuden mahdottomuudelle perustuvia tautologioita. Tietysti Quine olisi tästä aivan eri mieltä, mutta hän ei nähdäkseni esitellyt empiristien (kuten Humen ja Ayerin, jotka olivat siis aika lailla a priori -miehiä) parhaita logiikan epistemologisen käytön pointteja.

Juho kirjoitti...

Kiitos makislaville kommentista.

Matematiikan aksioomat ovat havaitsemiemme lainalaisuuksien abstraktioita, ja sellaisina ne eivät tietenkään kuvaa havaintoja täydellisesti. Siksi matematiikan ja logiikan totuudet ovat ilman muuta irrallaan todellisesta maailmasta, ja ehkä sopivalla tulkinnalla myös irrallaan "todellisuutta koskevista propositioista", kuten sanoit.

Toisaalta todellisuutta koskevat propositiot ja lopulta myös todellinen maailma (heti kun sitä pyritään jotenkin kuvailemaan) rakentuvat abstraktioista, joten oikeastaan olemme juuriamme myöten irti "todellisuudesta". Näin syvälle ei tietenkään yleisessä kielenkäytössä kannata mennä, eli "todellisuudelle" kannattaa olettaa jokin ihmisen saavutettavissa oleva sisältö. Niin kannattaa varmasti tehdä myös tässä keskustelussa.

Jos lainataan Wittgensteinin Tractatusta: "Voimme kyllä esittää avaruudellisesti fysiikan lakien vastaisen yksityisen asiaintilan, mutta emme mitään asiaintilaa, joka rikkoisi geometrian lakeja"

En saa oikein kiinni tästä väitteestä, eikä antamasi linkki auttanut. Ainakin "esittäminen" vaatisi tarkennusta.

Mitä tarkalleen ottaen tarkoittaa väite "Ei voida esittää asiantilaa, joka rikkoisi geometrian lakeja". Minkä geometrian? Millainen esitys? Ilmeisesti on kyse siitä geometriasta, jossa esityksen on tarkoitus tapahtua. (Muita geometrioitahan voidaan tottakai rikkoa.)

Linkkisi takaa löytyi kuva ns. mahdottomasta esineestä, joka ilmeisesti on "esitys fysiikan lakien vastaisesta asiantilasta". Kaksiulotteisesti voidaan siis esittää jotain, mikä "rikkoo" avaruudellisesti fysiikan lakeja (tai oikeastaan vain johtaa harhaan kolmiulotteista intuitiotamme).

Vastaavalla tavalla tulkittuna kyseinen kuva (esitys) nähdäkseni rikkoo myös kolmiulotteisen euklidisen geometrian lakeja.

Juho kirjoitti...

Vielä yksi kommentti. Sanoit:

Se on tosi a priori siinä mielessä, että jos kieltäisimme sen totuuden, ajautuisimme sisäiseen ristiriitaan.

Mutta tässähän perustelet apriorisuuden ristiriidalla, joka perustuu logiikalle, joka puolestaan on opittu käytännön kokemuksen kautta, kuten itsekin mainitsit. Eikö siis kyseessä ole kuitenkin pohjimmiltaan a posteriori totuus?

makislav kirjoitti...

Kolmiolla on a priori sääntö siinä mielessä, ettemme saattaisi esittää kaksi- tai nelikulmaista kolmiota, sillä sehän ei olisi kolmio (kuten linkittämäni kuva, joka viittasi Wittgensteinin argumenttiin). Emme saattaisi abstrahoida kolmion ideaa kokemuksesta, sillä jo tämä kolmikulmaisuuden sääntö ehdoittaa, mitä kolmion täytyy olla (samalla tavalla kuin yksinkertainen aritmeettinen yhteenlaskusääntö edellytetään, ennen kuin ruvetaan laskemaan sormilla).

Ilman muuta psykologialla on virkansa formaalien totuuksien löytämisessä. Ne on opittu kokemuksellista tietä. Mutta jos matematiikka ja logiikka ovat tautologioita, kuten "A ja A", "Olen kirjoittanut mitä olen kirjoittanut" taikka "Huomenna sataa tai sitten ei", en näe, miten voisimme kiistää niiden totuuden. Jos lähden johtamaan algebraalista todistusta

2x = 10 I:2
x = 5

on tässä mielestäni vain siirrytty tautologiasta toiseen. Tätä rumbaa voisi jatkaa totuutta säilyttävällä päättelyllä, sijoittamalla nyt x:n paikalle sen arvo

2x5 = 10

jolloin palauduttaisiin taas tautologiaan

10 = 10

Väittäisin, että jos päätyisin ratkaisuun 9 = 10, joutuisin toteamaan, että olen päätellyt väärin ja että minun pitäisi tarkistaa laskutoimitus.

Ja tässä (päättelyn teoriassa) juuri on psykologismin ongelma: Miten psykologisti selittää, että päättelemme joskus väärin, jos hänen mielestään oikea ja väärä logiikka ovat sopimuksenvaraisia, kontingentteja inhimillisiä ajatteluprosesseja seuraavia johdannaisia? Mielestäni jonkinlainen apriorismi selviytyisi tästä vaikeudesta paremmin.

Ristiriidattomuuden periaatetta voidaan pitää propositioiden (niin formaalisten kuin empiiristenkin) ehtona. En ole kuitenkaan selvillä, millainen tämä ehto tarkalleen ottaen on (metafyysinen, transsendentaalinen, looginen, semanttinen?). Tässä logisismin haaste.

Juho kirjoitti...

(samalla tavalla kuin yksinkertainen aritmeettinen yhteenlaskusääntö edellytetään, ennen kuin ruvetaan laskemaan sormilla).

Eikö vastaavasti voida sanoa, että kielioppi edellytetään ennen kuin ruvetaan puhumaan? Siitä ei kuitenkaan seuraa, että kielioppi olisi jollain tavalla olemassa a priori.

Mutta jos matematiikka ja logiikka ovat tautologioita, kuten "A ja A", "Olen kirjoittanut mitä olen kirjoittanut" taikka "Huomenna sataa tai sitten ei", en näe, miten voisimme kiistää niiden totuuden.

Ei ole olemassa a priori tautologioita. Ainakaan minä en ole sellaisiin vielä törmännyt. Tautologia lepää aina määritelmien päällä. Esimerkiksi lauseen "Auto on auto" tautologisuus perustuu olla-verbiin (ja olemisen käsite sitten onkin filosofinen suo). Mutta jos hyväksymme olemiselle tietyt ominaisuudet (a posteriori), huomaamme lauseen tautologiaksi.

Vastaavasti, JOS hyväksymme logiikan määritelmät, niin "A tai ei-A" on tautologia. Mutta ovatko logiikan käsitteet ja määritelmät jossakin mielessä a priori totuuksia? Esimerkiksi käsite "tosi"? Tai se, että sovitaan totuusarvolle kaksi mahdollisuutta? Monet paradoksit osoittavat, etteivät nämä ole ongelmattomia käsitteitä.

Miten psykologisti selittää, että päättelemme joskus väärin, jos hänen mielestään oikea ja väärä logiikka ovat sopimuksenvaraisia, kontingentteja inhimillisiä ajatteluprosesseja seuraavia johdannaisia?

Ilman muuta tulemme joskus käyttäneeksi abstraktioitamme "huonosti", eli jollakin yhteensopimattomalla tavalla. En hoksaa, miksi tällainen haparoiva yhdenmukaisuuden tavoittelu olisi vihje logiikan apriorisuudesta.

Minulle tuli vähän sellainen tunne, että ehkä tulkitsin sinua väärin, mutta toivottavasti meni edes sinne päin.

makislav kirjoitti...

Kiitos kaikista vastauksista. Nyt on jo aika paljon sanottu, mutta ehkä vielä muutama ässä on vetää hihasta :)

Logisismin ongelma on varmasti juuri kuvailemasi, Eikö vastaavasti voida sanoa, että kielioppi edellytetään ennen kuin ruvetaan puhumaan? Siitä ei kuitenkaan seuraa, että kielioppi olisi jollain tavalla olemassa a priori. Näin saatetaan todella uppoutua sellaiseen metafyysisiin avaruuksiin, ettei jalat pysy enää lähelläkään maata (esim. Russel kannati vielä 1900-luvulla relaatioiden kohdalla Platonin universalismia selittämään tällaisten yleiskäsitteiden olemassaolon!) Ehkäpä taipuisin jonkintyyppiseen transsendentaalifilosofiaan, taikka oppiin säännönseuraamisesta, mutta tähän on siis hankala vastata.

Tautologian kohdalla Leibniz käytti nk. salva veritate -periaatetta: Kun kaksi asiaa on täysin samanlaisia (tai identtisiä) ne voidaan
vaihtaa keskenään ilman että väitteen totuus muuttuu miksikään. Voimme väittää, että 'oftalmologi' on 'silmälääkäri', joka olisi sama asia kuin 'oftalmologi' on 'oftalmologi' tai 'silmälääkäri' on 'silmälääkäri'. Ayerin ja positivistien mukaan tähän ei tarvinnut kuin tietää termien merkitys, jolloin saatoimme huomata niiden keskinäisen synonymiteetin. Emme kuitenkaan tuota em. lauseilla mitään tietoa maailmasta; sanomme vain itsestäänselvästi varman totuuden. Meillä toki on erilaisia kielellisiä konventioita, joilla tautologioiden totuutta koettelemme, mutta niiden kiistäminen olisi propositionaalisessa mielessä (totuutta tavoittelevana lauseena) itsensä kieltävää ja kumoavaa.

Mitä tulee paradokseihin ja totuusarvon kahtalaiseen luonteeseen, niin Aristoteleellä on tällainen argumentti: "Loppujen lopuksi, ellei mitään voida totuudellisesti väittää,jopa edellinen väite olisi epätosi, siis väite, ettei ole mitään totuudellista väitettä". Tässä Aristoteleen realistinen mestariargumentti: Kun hän itse argumentoi realistisesti, ja kun relativisti on eri mieltä hänen kanssaan jostain, tulee relativisti kuitenkin vastatessaan itsekin noudattaneeksi totuuden mittapuuna sitä, ettei hän mene itsensä kanssa ristiriitaan. Mikäli hän olisi väitteessään sisäisesti ristiriitainen, ei hän voisi tavoitella totuutta. Näin ollen aprioristinen päättelyn teoria näyttäisi pitävän paikkansa.

Toki meidän on otettava huomioon akseli todennäköinen/epätodennäköinen. Ja itseasiassa: mielestäni todennäköisyys maailmaa koskevissa uskomuksissa tulisi olla (yksi) tiedon kriteeri. Mutta silti todellisuutta koskevien propositioiden pitäisi olla jossain tautologian ja kontradiktion välimaastossa, sillä muuten ne eivät saattaisi kuvata maailmaa. (Menee jo ehkä vähän ohi aiheemme, mutta rustasin tästä kuvateoriasta jokin aika sitten pienen pätkän.

Catilina kirjoitti...

Minkähän verran tässä nyt esiintyy sitä, että jostain syystä ihmiset näyttävät "luonnostaan" ZFC:n olevan jotenkin muita "oikeamman" tai "todemman" järjestelmän ja automaattisesti ajattelevat sen mukaan. Ikäänkuin kategoriat ja luokat olisivat jotain, mitä ei "oikeasti" ole olemassa?

Juho kirjoitti...

Aristoteleellä on tällainen argumentti: "Loppujen lopuksi, ellei mitään voida totuudellisesti väittää,jopa edellinen väite olisi epätosi, siis väite, ettei ole mitään totuudellista väitettä".

Mielestäni väite "Ei ole olemassa universaaleja totuuksia" on mielekäs paradoksaalisuudestaan huolimatta. Tosin itse muotoilisin relativistisen kantani hieman pehmeämmin seuraavasti:

Ei voida esittää totuuksia, jotka ovat täysin meistä riippumattomia, eli riippumattomia havainnoijasta, esittäjästä ja ajattelijasta. Jos on olemassa universaaleja totuuksia, niin niitä ei voi sellaisenaan saavuttaa millään esityksellä, sillä toimija muuttaa niitä kaltaisekseen omalla olemuksellaan, ajattelullaan ja havaitsemisellaan.

En hoksaa, miksi kaikkien väitteiden kohdalla olisi pidettävä ehdottomasti kiinni kaksiarvoisesta totuustarkastelusta. Minun intuitioni sanoo, että hälytyskellojen pitäisi soida, kun on kyse suuren luokan metaväitteestä, joka esim. tässä tapauksessa koskee kaikkia väitteitä. (Vrt. joukko-opin ongelmat kaikkien joukkojen joukon kanssa.)

Gc kirjoitti...

Logismi kaatui historiallisesti äärettömyysaksiooomaan (on olemassa ärretön joukko), joka esiintyy sekä Russellin tyyppiteoriassa, että joukko-opissa. Ilman tuota aksioomaa modernia matematiikkaa on vaikeaa kehittää. Väite on olemassa ääretönjoukko, ei olemassaolo väitteenä ole tautologia, niinkuin se normaalisti ymmärretään.
Minulla on sellainen mielikuva, että Fregen systeemi oli jotain samaa kuin
1) joukot ovat samoja jos ja vain jos niillä on samat alkiot
2)On olemassa joukko B jonka alkiot ovat täsmälleen kaikki ne jotka toteuttavat jonkun predikaatin phi.
Nyt predikaatti "x kuuluu äärettömään joukkoon" voidaan muotoilla joukko opin kielessä, joten aksioomasta 2 seuraa siten äärettömän joukon olemassolo. Mutta tämä systeemihän on ristiriitainen niin kuin Russellin paradoksista tiedetään. Aksiiomasta 2) on olemassa lievempi muoto, joka on muuten sama, mutta joka edellyttää, että B on jonkun toisen joukon alkio. Ymmärrettävästi silloin ei voida todistaa äärettömän joukon olemassoloa, koska silloin pitäisi jo jonkun "isomman" joukon olemassolo olla jo valmiiksi todistettu. Myöskään Russellin paradoksi ei mene tällöin läpi.

Gc kirjoitti...

Tuossa Fregen systeemin kuvauksessa meni vähän sanat sekaisin. Tarkoitus oli sanoa, että aksioomassa 2) predikaatti phi voi olla mikä tahansa ja aina sitä vastaava joukko on olemassa, mikä toivottavasti kävi sittemmin implisiittisesti ilmi. Tässä siis mikä tahansa määriteltävä joukko on aina olemassa ja siitä eräänlainen tautologisuus.

Catilina kirjoitti...

Äärettömillä joukoilla tulee eteen tuo valinnan periaate. Sen on oltava voimassa, jotta edes voitaisiin äärettömän joukon mielivaltaisiin jäseniin liittää jotain ominaisuuksia.

Hauskaa on se, että transfiniittisten lukujen teoria vaan näyttäisi käytännössäkin toimivan. Jostain syystä vaan esim. differentiaalilaskenta on juuttunut sinänsä tarpeettomaan raja-arvon käsitteeseen.

Juho kirjoitti...

Catilina, voisitko selittää tarkemmin missä mielessä differentiaalilaskenta on "juuttunut" raja-arvon käsitteeseen ja missä mielessä raja-arvo on "sinänsä tarpeeton"? Liittyykö huomautuksesi ehkä transfiniittisiin lukuihin? Itse en ole niihin tutustunut määritelmää syvemmin.

Jos muuttujat saavat arvoja jatkumosta, on raja-arvo nähdäkseni oikein luonteva väline funktioiden tarkastelussa. On vaikea kuvitella mielekästä analyysiä ilman sitä. Jos esimerkiksi miettii funktion derivaattaa geometrisesti, niin jonkinlaisella raja-arvoprosessillahan se on haettava, jotta tarkastelu keskittyisi "varmasti riittävän lähelle" tarkastelupistettä.