torstai 24. kesäkuuta 2010

Matematiikka ja todellisuus

Joskus (jopa tieteentekijöiden seurassa) törmää ajatukseen matematiikan "puhtaudesta" ja siitä, että se edustaa jonkinlaista universaalia totuutta. Ajatus on kuitenkin aikansa elänyt, ja sen kannattajat ovat kokeneet kovia viimeisten sadan vuoden aikana.

Pohjimmiltaan matematiikka on kokeiluun ja käytännön havaintoihin perustuva tiede siinä missä muutkin, vaikka sen rakenne onkin selvempi, johtuen tutkittavien havaintojen (aksioomien ja logiikan) yksinkertaisuudesta. Voidaan myös sanoa, että matematiikka tutkii ihmisen ajattelu- ja havainnointiperiaatteita samalla, kun se tutkii ulkoisen maailman lainalaisuuksia. Usein näiden kahden tutkimuskohteen erottelu ei ole mielekästä.

Matematiikan idealistinen hohto himmeni viime vuosisadalla, kun sille pyrittiin luomaan yhtenäinen aksiomaattinen pohja. Lyhyesti sanottuna matematiikan "puhtautta" rajoittavat ihmisen ajattelun ja kielen ominaisuudet, jotka eivät tunnu olevan helposti systematisoitavissa. Toisin sanoen, ihmiselle tuttujen ja intuitiivisesti selkeiden käsitteiden avulla on vaikea määritellä yhtenäistä "päättelyjärjestelmää", jonka puitteissa sen sisältämien väittämien totuusarvoa voitaisiin ongelmattomasti tarkastella.

Arkikielen tasolla on helppo huomata, ettei väittämiä voida jakaa tosiin ja epätosiin. Tähän liittyy monia tunnettuja paradokseja, joista tunnetuin lienee valehtelijan paradoksi:
Minä valehtelen juuri nyt
tai
Tämä lause ei pidä paikkaansa.


Paradoksit sisältävät yleensä jonkinlaisen viittauksen lauseeseen itseensä. Hieman mutkikkaammassa Quinen paradoksissa tämä viittaus ei ole yhtä selkeä, tai ainakin se on erilainen kuin edellä. Quinen paradoksi kuuluu vapaasti suomennettuna näin:
"Tekee lauseesta epätoden, kun sitä edeltää itsensä lainaus" tekee lauseesta epätoden, kun sitä edeltää itsensä lainaus.


Berryn paradoksi liittyy lukujen nimeämiseen sanojen avulla. Voidaan esimerkiksi pyrkiä nimeämään jokin (positiivinen kokonais)luku seuraavasti:
Pienin luku, jota ei voida nimetä alle kymmenellä sanalla.
Kielessä on äärellinen määrä sanoja, joten alle kymmenellä sanalla voidaan nimetä vain äärellinen määrä lukuja. Joitain lukuja jää siis nimeämättä, ja jonkun niistä on oltava pienin. Kyseinen luku on juuri se, jonka yllä oleva lause nimeää, mutta lauseessa on vain yhdeksän sanaa.

Kielen ongelmat siirtyvät logiikan ja aksioomien mukana myös matematiikkaan, ja esimerkiksi yllä mainitut paradoksit ovat koetelleet matematiikan aksiomatisointiyrityksiä.

Ensimmäiset yritykset joukko-opin määrittelemiseksi kaatuivat Russellin paradoksiin. Nykyisetkään joukko-opin aksioomat (ZFC) eivät ole valaistuksen hetkellä saatuja suuria totuuksia, vaan yrityksen ja erehdyksen kautta kyhätty kokoelma, jonka sisältämät ongelmat ovat siedettävällä tasolla. Ainakin toistaiseksi. Esimerkiksi kontinuumihypoteesia ei voida todistaa eikä kumota nykyisten aksioomien pohjalta.

Myöhemmin Gödel käytti valehtelijan paradoksia osoittaakseen kuuluisan epätäydellisyyslauseensa, jonka mukaan todistuksen formalisointiyritykset johtavat (käytännössä) aina systeemiin, jossa on tosia lauseita, joita ei voida todistaa systeemin sisältä. Tulos harmitti useaa idealistia.

Ongelmiin joudutaan myös, kun joukoille pyritään määrittelemään mitta, joka vastaa geometrista intuitiota pituudesta, pinta-alasta ja tilavuudesta. On nimittäin vaikea määritellä mittaa, jolla voitaisiin fiksusti mitata kaikkia joukkoja. Hyvän mitan määrittely on tärkeää esimerkiksi integraalia määritellessä.

Matematiikka tutkii siis tavallaan ihmisen ajattelua ja kieltä, sillä logiikka ja aksioomat perustuvat niille. Voidaan myös ajatella, että matematiikka tutkii tapaa, jolla ihminen havainnoi ja jäsentää ympäristöään. Esimerkiksi ryhmän määritelmä, ja sitä kautta ryhmäteoria, joka on tärkeä matematiikan osa-alue, on syntynyt esineiden symmetrioita tutkimalla. Myös koko joukko-oppi, eli se, että ihmiselle ylipäätään tulee mieleen ajatus "joukosta", sen sisältämistä "alkioista" ja näiden välisistä lainalaisuuksista, perustuu arkihavaintoihin esineistä ja niiden kokoelmista.

Lopuksi pari kiinnostavaa esimerkkiä siitä, mitä tämän perustan päällä lepää. Esimerkit koskevat aaltoyhtälöä, mikä on kiinnostava tutkimuskohde, sillä fyysikkojen mukaan pohjimmiltaan kaikki on aaltoja.

Kun tutkitaan eri ulotteisissa avaruuksissa millaisen aallon synnyttää pistemäinen hetkellinen häiriö (eli ratkaistaan aaltoyhtälö asettamalla alkuehdoksi pistemäinen yksikköimpulssi), voidaan ratkaisuista huomata, että Huygensin periaate on voimassa vain avaruudessa, jossa on pariton määrä ulottuvuuksia. Lisäksi huomataan, että kolme on pienin ulottuvuuksien määrä, jossa tämä ratkaisu koostuu yhdestä terävästä aaltorintamasta. Tämä ominaisuus on oleellinen informaation leviämisen kannalta. Mikäli pistemäinen hetkellinen häiriö aiheuttaa ympärilleen vähemmän selkeän aaltorintaman, kuten esimerkiksi kaksiulotteisessa tapauksessa (vaikkapa järven pinnalla), sekoittuvat eri lähteistä peräisin olevat aallot, ja aaltojen välittä informaatio on yhtä mössöä.

Eräs vielä kiinnostavampi havainto liittyy vaimenevien palloaaltojen olemassaoloon. Monet havaitut aaltoilmiöt näyttäisivät vaimenevan etäisyyden kasvaessa, riippuen tietysti väliaineesta. Aaltoyhtälöä tutkimalla voidaan huomata, että tällaisia ratkaisuja (vaimenevia häiriöttömiä palloaaltoja) voi olla vain kolmiulotteisessa avaruudessa. Välillä yhdestä äärettömään on siis kolme ainoa ulottuvuuksien määrä, jossa tällaisia ratkaisuja on olemassa. Tulos rohkaisee visioimaan, ettei maailma todellisuudessa ole kolmiulotteinen. Sitä ei vain voi havaita minkään muun ulotteisena.

Tässäkin voi tietysti olla kyseessä kehäpäätelmä, sillä matematiikka rakentuu oletuksille, jotka syntyvät aivoissamme, jotka puolestaan syntyvät kolmiulotteisen havaintomaailman ehdollistamina. Saattaa siis olla, että havaintojemme kolmiulotteisuus "todistaa" salakavalasti itse oman välttämättömyytensä.

sunnuntai 13. kesäkuuta 2010

Valitse uskontosi

Marita Liulia on tehnyt kotisivulleen varsin asiallisen koosteen valtauskonnoista. Siitä voi kätevästi jokainen uskonnollisuuteen taipuvainen valita omansa. Rohkeampi voi tietysti rakentaa taulukon pohjalta myös ikioman rivistönsä. Juuri tällaista opastetaulua tarvitsee moni länsimainen nuori, ja miksei aikuinenkin.

torstai 10. kesäkuuta 2010

Illan miete

"Minun käsissäni on jälkeeni tulevien kohtalo.
Valintamme eivät siis ole vähäisiä.

Sillä kun me jätämme tämän maan, me istumme siinä hiljaa itkien kaikkea sitä, mitä me olemme sille tehneet.
"

- Lipton Cockton in the shadows of Sodoma