Matematiikka ja todellisuus

Joskus (jopa tieteentekijöiden seurassa) törmää ajatukseen matematiikan "puhtaudesta" ja siitä, että se edustaa jonkinlaista universaalia totuutta. Ajatus on kuitenkin aikansa elänyt, ja sen kannattajat ovat kokeneet kovia viimeisten sadan vuoden aikana.

Pohjimmiltaan matematiikka on kokeiluun ja käytännön havaintoihin perustuva tiede siinä missä muutkin, vaikka sen rakenne onkin selvempi, johtuen tutkittavien havaintojen (aksioomien ja logiikan) yksinkertaisuudesta. Voidaan myös sanoa, että matematiikka tutkii ihmisen ajattelu- ja havainnointiperiaatteita samalla, kun se tutkii ulkoisen maailman lainalaisuuksia. Usein näiden kahden tutkimuskohteen erottelu ei ole mielekästä.

Matematiikan idealistinen hohto himmeni viime vuosisadalla, kun sille pyrittiin luomaan yhtenäinen aksiomaattinen pohja. Lyhyesti sanottuna matematiikan "puhtautta" rajoittavat ihmisen ajattelun ja kielen ominaisuudet, jotka eivät tunnu olevan helposti systematisoitavissa. Toisin sanoen, ihmiselle tuttujen ja intuitiivisesti selkeiden käsitteiden avulla on vaikea määritellä yhtenäistä "päättelyjärjestelmää", jonka puitteissa sen sisältämien väittämien totuusarvoa voitaisiin ongelmattomasti tarkastella.

Arkikielen tasolla on helppo huomata, ettei väittämiä voida jakaa tosiin ja epätosiin. Tähän liittyy monia tunnettuja paradokseja, joista tunnetuin lienee valehtelijan paradoksi:

Minä valehtelen juuri nyt

tai

Tämä lause ei pidä paikkaansa.

Paradoksit sisältävät yleensä jonkinlaisen viittauksen lauseeseen itseensä. Hieman mutkikkaammassa Quinen paradoksissa tämä viittaus ei ole yhtä selkeä, tai ainakin se on erilainen kuin edellä. Quinen paradoksi kuuluu vapaasti suomennettuna näin:

"Tekee lauseesta epätoden, kun sitä edeltää itsensä lainaus" tekee lauseesta epätoden, kun sitä edeltää itsensä lainaus.

Berryn paradoksi liittyy lukujen nimeämiseen sanojen avulla. Voidaan esimerkiksi pyrkiä nimeämään jokin (positiivinen kokonais)luku seuraavasti:

Pienin luku, jota ei voida nimetä alle kymmenellä sanalla.

Kielessä on äärellinen määrä sanoja, joten alle kymmenellä sanalla voidaan nimetä vain äärellinen määrä lukuja. Joitain lukuja jää siis nimeämättä, ja jonkun niistä on oltava pienin. Kyseinen luku on juuri se, jonka yllä oleva lause nimeää, mutta lauseessa on vain yhdeksän sanaa.

Kielen ongelmat siirtyvät logiikan ja aksioomien mukana myös matematiikkaan, ja esimerkiksi yllä mainitut paradoksit ovat koetelleet matematiikan aksiomatisointiyrityksiä.

Ensimmäiset yritykset joukko-opin määrittelemiseksi kaatuivat Russellin paradoksiin. Nykyisetkään joukko-opin aksioomat (ZFC) eivät ole valaistuksen hetkellä saatuja suuria totuuksia, vaan yrityksen ja erehdyksen kautta kyhätty kokoelma, jonka sisältämät ongelmat ovat siedettävällä tasolla. Ainakin toistaiseksi. Esimerkiksi kontinuumihypoteesia ei voida todistaa eikä kumota nykyisten aksioomien pohjalta.

Myöhemmin Gödel käytti valehtelijan paradoksia osoittaakseen kuuluisan epätäydellisyyslauseensa, jonka mukaan todistuksen formalisointiyritykset johtavat (käytännössä) aina systeemiin, jossa on tosia lauseita, joita ei voida todistaa systeemin sisältä. Tulos harmitti useaa idealistia.

Ongelmiin joudutaan myös, kun joukoille pyritään määrittelemään mitta, joka vastaa geometrista intuitiota pituudesta, pinta-alasta ja tilavuudesta. On nimittäin vaikea määritellä mittaa, jolla voitaisiin fiksusti mitata kaikkia joukkoja. Hyvän mitan määrittely on tärkeää esimerkiksi integraalia määritellessä.

Matematiikka tutkii siis tavallaan ihmisen ajattelua ja kieltä, sillä logiikka ja aksioomat perustuvat niille. Voidaan myös ajatella, että matematiikka tutkii tapaa, jolla ihminen havainnoi ja jäsentää ympäristöään. Esimerkiksi ryhmän määritelmä, ja sitä kautta ryhmäteoria, joka on tärkeä matematiikan osa-alue, on syntynyt esineiden symmetrioita tutkimalla. Myös koko joukko-oppi, eli se, että ihmiselle ylipäätään tulee mieleen ajatus "joukosta", sen sisältämistä "alkioista" ja näiden välisistä lainalaisuuksista, perustuu arkihavaintoihin esineistä ja niiden kokoelmista.

Lopuksi pari kiinnostavaa esimerkkiä siitä, mitä tämän perustan päällä lepää. Esimerkit koskevat aaltoyhtälöä, mikä on kiinnostava tutkimuskohde, sillä fyysikkojen mukaan pohjimmiltaan kaikki on aaltoja.

Kun tutkitaan eri ulotteisissa avaruuksissa millaisen aallon synnyttää pistemäinen hetkellinen häiriö (eli ratkaistaan aaltoyhtälö asettamalla alkuehdoksi pistemäinen yksikköimpulssi), voidaan ratkaisuista huomata, että Huygensin periaate on voimassa vain avaruudessa, jossa on pariton määrä ulottuvuuksia. Lisäksi huomataan, että kolme on pienin ulottuvuuksien määrä, jossa tämä ratkaisu koostuu yhdestä terävästä aaltorintamasta. Tämä ominaisuus on oleellinen informaation leviämisen kannalta. Mikäli pistemäinen hetkellinen häiriö aiheuttaa ympärilleen vähemmän selkeän aaltorintaman, kuten esimerkiksi kaksiulotteisessa tapauksessa (vaikkapa järven pinnalla), sekoittuvat eri lähteistä peräisin olevat aallot, ja aaltojen välittä informaatio on yhtä mössöä.

Eräs vielä kiinnostavampi havainto liittyy vaimenevien palloaaltojen olemassaoloon. Monet havaitut aaltoilmiöt näyttäisivät vaimenevan etäisyyden kasvaessa, riippuen tietysti väliaineesta. Aaltoyhtälöä tutkimalla voidaan huomata, että tällaisia ratkaisuja (vaimenevia häiriöttömiä palloaaltoja) voi olla vain kolmiulotteisessa avaruudessa. Välillä yhdestä äärettömään on siis kolme ainoa ulottuvuuksien määrä, jossa tällaisia ratkaisuja on olemassa. Tulos rohkaisee visioimaan, ettei maailma todellisuudessa ole kolmiulotteinen. Sitä ei vain voi havaita minkään muun ulotteisena.

Tässäkin voi tietysti olla kyseessä kehäpäätelmä, sillä matematiikka rakentuu oletuksille, jotka syntyvät aivoissamme, jotka puolestaan syntyvät kolmiulotteisen havaintomaailman ehdollistamina. Saattaa siis olla, että havaintojemme kolmiulotteisuus "todistaa" salakavalasti itse oman välttämättömyytensä.

Valitse uskontosi

Marita Liulia on tehnyt kotisivulleen varsin asiallisen koosteen valtauskonnoista. Siitä voi kätevästi jokainen uskonnollisuuteen taipuvainen valita omansa. Rohkeampi voi tietysti rakentaa taulukon pohjalta myös ikioman rivistönsä. Juuri tällaista opastetaulua tarvitsee moni länsimainen nuori, ja miksei aikuinenkin.

Illan kevyt mietelmä

Näinä pessimistien ja ekoalarmistien aikoina tiibetiläiset osaavat sentään ajatella positiivisesti. Tosin tässäkin asiassa saattaa olla kiinalaisilla sormet pelissä.

Tasa-arvo luonnontieteissä

On surullista huomata, kuinka tasa-arvovouhotus on levinnyt jo Helsingin yliopistoon saakka. Vuoden 2006 tilastojen mukaan naisia on yliopistosektorin tutkijakunnasta 43%, tohtoreista 45%, kaikista professoreista 21% sekä luonnontieteiden ja tekniikan alan professoreista 8%. Ilmeisesti tämä on suuri epäkohta, joka vaatii toimenpiteitä.

Fysiikan laitoksen sivuilta löytyvässä tasa-arvolehtisessä (2,3MB) vedotaan tutkimuksiin, joiden mukaan naiset menestyvät luonnontieteen opinnoissa ja ongelmanratkaisussa keskimäärin jopa miehiä paremmin. Koko tasa-arvohanke näyttää pohjautuvan tähän havaintoon (ja tietysti myös kovaan tahtoon löytää epäkohtia kaikkialta). Tasa-arvolehtisen mukaan naisten aliedustus professoritasolla on siksi huutava vääryys, joka voi johtua vain tiedostamattomasta syrjinnästä, jota miehet harjoittavat naisia kohtaan, ja jota myös naiset harjoittavat itseään kohtaan. Nerokasta.

Avainsana tuossa yllä on tietysti keskimäärin. Naiset menestyvät keskimäärin paremmin opinnoissa ja testeissä.

On valitettavaa, että asian pohtimiseen panostetaan ilmeisen paljon aikaa, mutta kuitenkin hommaan valitaan toimikunta, joka ei osaa käsitellä tilastoja edes alkeellisella tasolla. Kuka tahansa peruskurssinsa suorittanut yliopisto-opiskelija tietää, että yksi tunnusluku, esim. keskiarvo, kertoo jakaumasta hyvin vähän.

Toivon kovasti, että jatkossa arvon fyysikot hoksaisivat verrata myös naisten ja miesten ongelmanratkaisukykyä kuvaavien jakaumien muotoja. Mikäli se on liian haasteellista, niin ns. hajonta on eräs tunnusluku, joka voi myös auttaa jäljille.

Ateisti ja uskova

Vaikka edellistä kirjoitustani seuranneessa keskustelussa ei saavutettu yhteisymmärrystä, sen aiheuttama ajatusprosessi on ollut antoisa. (Keskustelu oli siis kaikin puolin tavanomainen.)

Kirjoituksessani kritisoin seuraavaa väitettä, joka olkoon nimeltään A:

Sekä uskova että ateisti ovat itse asiassa molemmat uskovaisia, koska kummankaan näkemys jumalasta ei perustu faktoihin.

Väite pitää tietysti paikkansa, jos tarkastelu viedään epistemologiseen loppuunsa, jolloin kaikkea - suoria havaintoja myöten - voidaan pitää puhtaana uskomuksena. Tällainen tarkastelu on tietysti aiheeton, sillä kukaan täyspäinen ei esitä väitettä A sellaisessa viitekehyksessä, jossa ei ole lainkaan faktoja (vaikka se on toki triviaalisti totta).

Esittämällä väitteen A, voi uskova yrittää puolustautua ateistin esittämää kritiikkiä vastaan, tai pyrkiä yleisemmin alentamaan ateistin tai ateismin asemaa. Ehkä uskovakin vaistoaa, millainen tenho saavutetaan "perustamalla asiat faktoille". Siksi, mikäli tämä faktamatto voidaan jotenkin vetää ateistin alta, niin hänen toki kannattaa se tehdä. Ja mikäli se on todella aiheellista, niin se pitääkin tehdä. Toistaiseksi olen sen aiheellisuudesta kuitenkin eri mieltä. Ateisti on ansainnut faktamattonsa, joskaan todellisuudessa matto ei ole niin iso ja punainen kuin se joskus uskovan silmissä tuntuu olevan.

Epäilen, että isoin ongelma keskustelussa on lopulta sanojen "ateisti" ja "uskova" laadullinen ero. Tällä tarkoitan niitä monia tapoja ja relevanssitasoja, joilla ateisti voi uskoa jumalten olemattomuuteen, tai, toiselta kantilta katsottuna, sitä kokonaisvaltaisuutta ja raskautta, jolla uskovan on oltava uskossa.

Vielä tarkemmin tarkoitan tällä sitä, että uskovan uskoon jumalan olemassaolosta liittyy hyvin tiiviisti hänen koko arvomaailmansa, kun taas ateistin uskolla jumalan olemattomuudesta on hyvin heikko (jos minkäänlainen) yhteys hänen arvomaailmaansa. (Toki on myös ateisteja, jotka määrittävät arvonsa lähinnä jumalan olemattomuuden perusteella, ehkä ikäänkuin kapinamielessä, mutta ajatus tuntuu niin omituiselta, että luulen, ja toivon, heidän olevan marginaalissa.) Ateistin arvomaailma saattaa siis olla täysin sama kuin uskovalla, ne vain kumpuavat eri pohjalta.

Jumaluskon ja arvomaailman läheisyydestä johtuen, ja myös siksi, että uskovan faktapohja on heikko, lienee siis uskovan uskon oltava vahvaa ja kokonaivaltaista. Olisi vaikea kuvitella hänen perustavan koko arvomaailmansa kevyelle pohjalle. Ateisti puolestaan voi pitää jumalattomuususkonsa erillään arvoistansa, jolloin uskonnollisen kannan merkityksellisyys voi jäädä vähäisemmäksi. Jumalattomuususkon vähemmästä painoarvosta huolimatta arvot voivat tietysti olla ateistille hyvin merkityksellisiä, ja ne voivat olla perustumatta faktoille siitä huolimatta, ettei hänen jumalattomuususkonsa sille tasolle ylläkään.

Lyhyesti sanottuna jumalattomuususko ja arvomaailma ovat erillisiä asioita, kun taas jumalusko ja arvomaailma eivät ole. Tämä aiheuttaa joskus uskoville harhakuvitelmia ateistien uskon luonteesta ja heidän arvoistaan. Siinä missä usko Jeesukseen tai Muhammediin tai Buddhaan on, sekä sisällöllisesti että vahvuudeltaan, suht tarkka käsite, usko jumalien olemattomuuteen ei sitä ole.

Minä hahmotan asioita paremmin kuvien ja kaavioiden kautta, joten otan vielä hahmottelun avuksi asteikon -10...10, jolla kuvataan uskon voimakkuutta (ehdottomuutta, tärkeyttä, jonkinlaista relevanssia uskovan elämässä). Asteikon ääripäissä ovat uskova (10) sekä uskonnollinen ateisti (-10), ja keskellä tietysti agnostikko (0).

Asteikkoa käyttäen ongelman voi kiteyttää niin, että siinä missä lähes kaikki uskovat sijoittuvat lähelle kymppiä, ateistit ovat sijoittuneet epämääräisemmin välille -10...-5. (-4 alkaa jo lähestyä agnostikkoa.) Voin ajatella ateistille ainakin seuraavat kolme tyyppiä:

Puhtaasti uskonnollinen ateisti:
Yksinkertaisesti uskoo, ettei jumalia ole. Tämä usko voi olla pohjana ateistin arvomaailmalle, tai sitten ei. Siksi uskon voimakkuus voi vaihdella välillä -5...-10, toisin kuin uskovalla.

Faktapohjainen ateisti:
Hänen ateistinen uskonsa muistuttaa uskoa Mikki-Hiiren olemattomuuteen. Nämä uskot perustuvat molemmat samanlaiselle faktapohjalle, eli havainnoille kyseisen hahmon maallisesta syntyprosessista. Myös niiden merkitykset ateistin arvomaailmalle voivat olla hyvin samanlaiset, eli yleensä heikot. Hänen uskonsa sijoittuu välille -5...-8.

Faktapohjainen uskonnollinen ateisti:
Välimuoto uskonnollisesta ja faktapohjaisesta. On kuten fakta-uskova, mutta tekee lisäksi Kierkegaardilaisen "uskon hypyn", joka antaa pari bonuspistettä uskon voimakkuuteen. Uskolla on siis kieltämättä faktapohja, mutta sen voimakkuus suhteessa muihin vastaaviin faktapohjaisiin näkemyksiin on selvästi suurempi.

Filosofisen kauteni alkuvaiheessa olin kolmannen tyypin ateisti. Tuolloin asia oli hyvin oleellinen maailmankatsomukseni kannalta ja ehkä siksi kirkastin kantani maailman jumalattomuudesta selvästi ehdottomammalle tasolle kuin esimerkiksi kantani Mikki-Hiiren olemattomuuteen. Mitään tietoista uskon päätöstä en muista tehneeni, vaan asia yksinkertaisesti oli minulle hyvin tärkeä siinä tilanteessa, ja asenteen muutos tapahtui ihan itsekseen.

Yhteenvetona voisin sanoa, että voin mieltää ateistisen näkemyksen samanlaisena, faktoihin perustumattomana kuin uskonnollisen vain siinä tapauksessa, että myöskään näkemystä Mikki-Hiiren olemattomuudesta ei pidetä faktapohjaisena. Tämä on vastoin sitä tapaa, jolla itse käsitän "faktapohjaisuuden" (siinä arkimerkityksessään, jossa väitettä A on mielekästä tarkastella).

Uskovan usko ja ateistin usko

Silloin tällöin kuulee väitteen, että sekä uskova että ateisti ovat itse asiassa molemmat uskovaisia, koska kummankaan näkemys ei perustu faktoihin.

Siinä mielessä väite pitää paikkansa, että niin ateisti kuin uskovakin voi perustaa kantansa tyhjän päälle, vailla mitään todellista havaintopohjaa tai rationaalista perustelua. Voi siis yksinkertaisesti päättää, ettei jumalia ole, yhtälailla kuin voi vain päättää, että joku jumala on.

On kuitenkin ateisteja, jotka perustavat uskonsa havainnoille. Tällä tarkoitan, että usko jumalten olemattomuuteen on samanlaisella pohjalla kuin usko arkisempiin asioihin, kuten siihen, että uskon lompsassani olevan tällä hetkellä yksi kympin seteli. Lisäksi voin ainakin omalta kohdaltani sanoa, että ateistisen uskoni asenne muistuttaa kympin seteliin kohdistuvaa uskoa: kyse on asiasta joka on tärkeä, muttei kuitenkaan stressaava, ja joka on lähes itsestään selvä, muttei kuitenkaan absoluuttisen kirkas.

Ateismia pohjustavat todelliset havainnot poikkeavat tavanomaisesta sikäli, että havainnot jumalten olemattomuudesta ovat kaikki luonteeltaan epäsuoria, mikä on tietysti luonnollista jos kohdetta ei ole olemassa. (Havainto siitä, että kaikki jumaliin liittyvät havainnot ovat tähän saakka olleet epäsuoria, on jo itsessään yksi havainto, joka tukee ateistista näkemystä.)

Havainnot liittyvät jumalten ja uskontojen luonnolliseen syntyprosessiin, eli siihen, kuinka muinainen ihminen, etsiessään selityksiä luonnonvoimille, keksii ensin metsän henkiä ja ukkosen jumalia, joista puolestaan kehittyy aikojen saatossa mytologioita, kokonaisia maailmaselityksiä ja uskontoja. Tätä prosessia, jossa ihminen luo jumalan etsiessään luonnonilmiöille ihmismäisiä tulkintoja, tukee niin valtava määrä psykologisia, biologisia, sosiologisia sekä historiallisia havaintoja, etten vain voi ummistaa niiltä silmiäni.

Niin notta, no perkele, pakkohan sitä on ajatella että siellä lompsassa on edelleen se kymppi. Vaikka olisihan se kivempi uskoa että siellä on miljoona, (ihan vaan siksi, ettei koskaan voi olla täysin varma), ja elää sen mukaan kunnes lompsan sisältö paljastuu.

Havainnollistanpa vielä esimerkin kautta kuinka kuvailemani ateistinen "usko" muistuttaa kovasti uskoa, joka liittyy tavallisiin arkiasioihin.

"Uskon, että lumi sulaa Suomesta keväällä 2011."

On toki kirjoitettu tarinoita esimerkiksi velhoista, jotka taikoivat maahan ikuisen talven, mutta näiden kirjojen ulkopuolella kaikki todelliset havainnot tukevat näkemystä, jonka mukaan lumi sulaa myös keväällä 2011. Olen esimerkiksi tehnyt havaintoja lumen sulamiseta keväisin Tampereen seudulla. Ymmärrän myös ne yleiset periaatteet, joilla lumen sulamisen ja vuodenaikojen vaihtelun ajatellaan tapahtuvan, ja ne tuntuvat ihan järkeviltä.

Siksi uskon, että lumi sulaa Suomesta keväällä 2011.

"Uskon, ettei jumalia ole."

On toki kirjoitettu tarinoita esimerkiksi jumalista, jotka ovat luoneet maailman ja antaneet meille erilaisia päämääriä, mutta näiden kirjojen ulkopuolella kaikki todelliset havainnot tukevat näkemystä, jonka mukaan jumalat ovat ihmisen luomia. Olen esimerkiksi havainnut ihmisellä halun löytää totuuksia, ihailla sankareita, hakea lohtua, pelätä kuolemaa ja oikeuttaa näkemyksensä vedoten itseä suurempaan auktoriteettiin. Ymmärrän myös hyvin ne yleiset periaatteet, joilla esihistorialliset taruolennot sekä myöhemmin uskonnot ovat syntyneet inhimillisten taipumusten pohjalta, ja nämä periaatteet tuntuvat ihan järkeviltä.

Siksi uskon, ettei jumalia ole.

Tältä pohjalta kun mietin, niin tulin sellaiseen johtopäätökseen, että uskovan ja ateistin uskoissa taitaa olla joitain eroja, ainakin sikäli kun kyse on kakkostyypin ateistista.

Päivän miete

"Älkää antako koirille sitä, mikä on pyhää, älkääkä heittäkö helmiänne sikojen eteen, etteivät ne tallaa niitä jalkoihinsa ja käy teidän kimppuunne ja raatele teitä."

- Jeesus Nasaretilainen, Matt 7:6